Afgeleide van x^x

20 Mei 2022
Nederlands

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = x^x $$

Nu is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = x^x * (\ln(x) + 1) $$

Uitwerking

Schrijf de functie als \( e \) tot de macht \( \ln \). Omdat \( e \) en \( \ln \) inverses zijn, heffen ze elkaar op en is er dus eigenlijk niks veranderd.

$$ f(x) = e^{\ln(x^x)} $$

Neem de afgeleide. De afgeleide van \( e^x \) is \( e^x \), maar we moeten rekening houden met de kettingregel.

$$ f'(x) = e^{\ln(x^x)} * \tfrac{d}{dx}(\ln(x^x)) $$

De \( e \) en \( \ln \) heffen elkaar op.

$$ f'(x) = x^x * \tfrac{d}{dx}(\ln(x^x)) $$

Breng de exponent naar beneden. Dit mag dankzij de eigenschappen van logaritmen.

$$ f'(x) = x^x * \tfrac{d}{dx}(x\ln(x)) $$

Differentieer met de productregel.

$$ f'(x) = x^x * (\tfrac{d}{dx}(x) * \ln(x) + x * \tfrac{d}{dx}(\ln(x))) $$

Er geldt \( \tfrac{d}{dx}(x) = 1 \) en \( \tfrac{d}{dx}(\ln(x)) = x^{-1} \).

$$ f'(x) = x^x * (1\ln(x) + x * x^{-1}) $$

Herleid.

$$ f'(x) = x^x * (\ln(x) + 1) $$