Iedere kwadratische vergelijking in de vorm:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Is op te lossen voor \( x \) met:
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}(b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) $$
Dit bewijs bestaat uit twee delen: het oplossen en herleiden tot de abc-formule.
Neem de algemene kwadratische vergelijking:
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Deel alle termen door \( a \).
$$ x^2 + a^{-1}bx + a^{-1}c = 0 $$
Splits het kwadraat af.
$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 - (\tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 + a^{-1}c = 0 $$
$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 - \tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 + a^{-1}c = 0 $$
Breng alle termen zonder \( x \) naar het rechterlid.
$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 = \tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c $$
Trek aan beide kanten de wortel.
$$ x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b = \pm\sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c} $$
Isoleer de \( x \).
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c} $$
Breng de factor \( \tfrac{1}{4}a^{-2} \) buiten de haakjes.
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - \tfrac{1}{4}a^{-2}*4ac} $$
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}(b^2 - 4ac)} $$
Splits de wortel.
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}} * \sqrt{b^2 - 4ac} $$
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \tfrac{1}{2}a^{-1} * \sqrt{b^2 - 4ac} $$
Breng de factor \( -\tfrac{1}{2}a^{-1} \) buiten de haakjes. Dit mag door het \( \pm \)-symbool.
$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}(b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) $$