Bewijs van de abc-formule

23 Maart 2021
Nederlands

Iedere kwadratische vergelijking in de vorm:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Is op te lossen voor \( x \) met:

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}(b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) $$

Dit bewijs bestaat uit twee delen: het oplossen en herleiden tot de abc-formule.

Oplossen

Neem de algemene kwadratische vergelijking:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Deel alle termen door \( a \).

$$ x^2 + a^{-1}bx + a^{-1}c = 0 $$

Splits het kwadraat af.

$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 - (\tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 + a^{-1}c = 0 $$

$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 - \tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 + a^{-1}c = 0 $$

Breng alle termen zonder \( x \) naar het rechterlid.

$$ (x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b)^2 = \tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c $$

Trek aan beide kanten de wortel.

$$ x + \tfrac{1}{2}a^{-1}b = \pm\sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c} $$

Isoleer de \( x \).

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - a^{-1}c} $$

Herleiden

Breng de factor \( \tfrac{1}{4}a^{-2} \) buiten de haakjes.

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}b^2 - \tfrac{1}{4}a^{-2}*4ac} $$

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}(b^2 - 4ac)} $$

Splits de wortel.

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \sqrt{\tfrac{1}{4}a^{-2}} * \sqrt{b^2 - 4ac} $$

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}b \pm \tfrac{1}{2}a^{-1} * \sqrt{b^2 - 4ac} $$

Breng de factor \( -\tfrac{1}{2}a^{-1} \) buiten de haakjes. Dit mag door het \( \pm \)-symbool.

$$ x = -\tfrac{1}{2}a^{-1}(b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) $$