Dit bewijs bewijst de volgende stelling:
Gegeven is functie \( f \):
$$ f(x) = a * g(x) $$
Waar \( a \) een constante is. Nu geldt:
$$ f'(x) = a * g'(x) $$
We nemen de definitie van de afgeleide.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x))) $$
Substitueer.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(a * g(x + h) - a * g(x))) $$
Breng de factor \( a \) buiten de haakjes.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(a(h^{-1}(g(x + h) - g(x)))) $$
Breng de constante \( a \) uit de limiet.
$$ f'(x) = a * \lim_{h\to0}(h^{-1}(g(x + h) - g(x))) $$
Nu ontstaat de definitie van de afgeleide van \( g \).
$$ f'(x) = a * g'(x) $$
Gebruik de productregel om de afgeleide te vinden van \( f \).
$$ f'(x) = \tfrac{d}{dx}(a) * g(x) + a * \tfrac{d}{dx}(g(x)) $$
Gebruik nu de constanteregel om te bepalen dat \( \tfrac{d}{dx}(a) = 0 \).
$$ f'(x) = 0 * g(x) + a * \tfrac{d}{dx}(g(x)) $$
$$ f'(x) = a * g'(x) $$