Bewijs van de coefficientregel in calculus

3 Mei 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = a * g(x) $$

Waar \( a \) een constante is. Nu geldt:

$$ f'(x) = a * g'(x) $$

Bewijs uit definitie

We nemen de definitie van de afgeleide.

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x))) $$

Substitueer.

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(a * g(x + h) - a * g(x))) $$

Breng de factor \( a \) buiten de haakjes.

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(a(h^{-1}(g(x + h) - g(x)))) $$

Breng de constante \( a \) uit de limiet.

$$ f'(x) = a * \lim_{h\to0}(h^{-1}(g(x + h) - g(x))) $$

Nu ontstaat de definitie van de afgeleide van \( g \).

$$ f'(x) = a * g'(x) $$

Bewijs uit andere differentieerregels

Gebruik de productregel om de afgeleide te vinden van \( f \).

$$ f'(x) = \tfrac{d}{dx}(a) * g(x) + a * \tfrac{d}{dx}(g(x)) $$

Gebruik nu de constanteregel om te bepalen dat \( \tfrac{d}{dx}(a) = 0 \).

$$ f'(x) = 0 * g(x) + a * \tfrac{d}{dx}(g(x)) $$

$$ f'(x) = a * g'(x) $$