Bewijs van exponentregel in calculus

11 Mei 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = a^x $$

Nu is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = a^x * \ln(a) $$

Bewijs

Schrijf de functie als \( e \) tot de macht \( \ln \). Dit zijn inverses van elkaar en dus heffen ze elkaar op.

$$ f(x) = e^{\ln(a^x)} $$

Gebruik nu dat \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \) en de kettingregel.

$$ f'(x) = e^{\ln(a^x)} * \tfrac{d}{dx}(\ln(a^x)) $$

De \( e \) en \( \ln \) heffen elkaar op, en breng de \( x \) naar beneden dankzij de eigenschappen van logaritmen.

$$ f'(x) = a^x * \tfrac{d}{dx}(x\ln(a)) $$

Gebruik ten slotte de coefficientsregel en de mono-variableregel.

$$ f'(x) = a^x * ln(a) * \tfrac{d}{dx}(x) $$

$$ f'(x) = a^x * ln(a) $$