Bewijs van de mono-variable regel in calculus

5 Mei 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is de functie \( f \):

$$ f(x) = x $$

Nu is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = 1 $$

Bewijs uit definitie

Neem de definitie van de afgeleide.

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x))) $$

Substitueer \( f \).

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(x + h - x)) $$

Herleid.

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1} * h) $$

$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(1) $$

De \( 1 \) is nu vrij.

$$ f'(x) = 1 $$

Bewijs uit redenatie

De functie \( f(x) = x \) is een lijn met een richtingscoefficient van \( 1 \).

Hieruit volgt dat altijd \( \Delta y / \Delta x = a \).

Dus de helling van de lijn is op elk punt \( 1 \):

$$ f'(x) = 1 $$