Dit bewijs bewijst de volgende stelling:
Gegeven is de functie \( f \):
$$ f(x) = x $$
Nu is de afgeleide van \( f \):
$$ f'(x) = 1 $$
Neem de definitie van de afgeleide.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x))) $$
Substitueer \( f \).
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1}(x + h - x)) $$
Herleid.
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(h^{-1} * h) $$
$$ f'(x) = \lim_{h\to0}(1) $$
De \( 1 \) is nu vrij.
$$ f'(x) = 1 $$
De functie \( f(x) = x \) is een lijn met een richtingscoefficient van \( 1 \).
Hieruit volgt dat altijd \( \Delta y / \Delta x = a \).
Dus de helling van de lijn is op elk punt \( 1 \):
$$ f'(x) = 1 $$