Bewijs van de quotientregel in calculus

1 Mei 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} $$

Dan is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = \frac{g'(x) * h(x) - h'(x) * g(x)}{h(x)^2} $$

Bewijs

Schrijf \( f \) als een product met negatieve exponenten.

$$ f(x) = g(x) * h(x)^{-1} $$

Differentieer nu met de productregel.

$$ f'(x) = g'(x) * h(x)^{-1} + \tfrac{d}{dx}(h(x)^{-1}) * g(x) $$

Gebruik nu de machtsregel en de kettingregel.

$$ f'(x) = g'(x) * h(x)^{-1} - h(x)^{-2} * h'(x) * g(x) $$

Herleid.

$$ f'(x) = \frac{g'(x)}{h(x)} - \frac{h'(x) * g(x)}{h(x)^2} $$

$$ f'(x) = \frac{g'(x) * h(x)}{h(x)^2} - \frac{h'(x) * g(x)}{h(x)^2} $$

$$ f'(x) = \frac{g'(x) * h(x) - h'(x) * g(x)}{h(x)^2} $$