Bewijs van de somregel in calculus

24 Maart 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = g(x) + k(x) $$

Dan is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = g'(x) + k'(x) $$

Bewijs

We nemen de definitie van de afgeleide van \( f \).

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x ) ) ) $$

Substitueer \( f = g + k \).

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) + k(x + h) - (g(x) + k(x) ) ) ) $$

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) + k(x + h) - g(x) - k(x) ) ) $$

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) - g(x) + k(x + h) - k(x) ) ) $$

Splits de \( h^{-1} \).

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) - g(x) ) + h^{-1}(k(x + h) - k(x) ) ) $$

Splits de limiet.

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}(h^{-1} ( g(x + h) - g(x) ) ) + \lim_{h \to 0}(h^{-1} ( k(x + h) - k(x) ) ) $$

Nu ontstaan de definities van de afgeleide van \( g \) en \( k \). Deze kunnen we opschrijven als \( g' \) en \( k' \).

$$ f'(x) = g'(x) + k'(x) $$