Dit bewijs bewijst de volgende stelling:
Gegeven is functie \( f \):
$$ f(x) = g(x) + k(x) $$
Dan is de afgeleide van \( f \):
$$ f'(x) = g'(x) + k'(x) $$
We nemen de definitie van de afgeleide van \( f \).
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}(h^{-1}(f(x + h) - f(x ) ) ) $$
Substitueer \( f = g + k \).
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) + k(x + h) - (g(x) + k(x) ) ) ) $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) + k(x + h) - g(x) - k(x) ) ) $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) - g(x) + k(x + h) - k(x) ) ) $$
Splits de \( h^{-1} \).
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}( h^{-1}( g(x + h) - g(x) ) + h^{-1}(k(x + h) - k(x) ) ) $$
Splits de limiet.
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0}(h^{-1} ( g(x + h) - g(x) ) ) + \lim_{h \to 0}(h^{-1} ( k(x + h) - k(x) ) ) $$
Nu ontstaan de definities van de afgeleide van \( g \) en \( k \). Deze kunnen we opschrijven als \( g' \) en \( k' \).
$$ f'(x) = g'(x) + k'(x) $$