Bewijs van de wortelregel in calculus

6 Mei 2022
Nederlands

Dit bewijs bewijst de volgende stelling:

Gegeven is functie \( f \):

$$ f(x) = \sqrt[a]{x} $$

Nu is de afgeleide van \( f \):

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} (\sqrt[a]{x})^{1-a} $$

Bewijs

Schrijf de wortel als een exponent.

$$ f(x) = x^{\frac{1}{a}} $$

Gebruik nu de machtsregel.

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} x^{\frac{1}{a} - 1} $$

Tel de breuken in het exponent op.

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} x^{\frac{1}{a} - \frac{a}{a}} $$

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} x^{\frac{1 - a}{a}} $$

Breng de wortel terug.

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} (x^{\frac{1}{a}})^{1 - a} $$

$$ f'(x) = \tfrac{1}{a} (\sqrt[a]{x})^{1-a} $$